Résoudre un problème avec ingéniosité

27/01/2019

Un jour, c'était au XVIIIe siècle, un instituteur qui devait s'absenter de sa classe donna à ses élèves de sept ans un exercice pour les occuper. Il s'agissait d'additionner tous les nombres de 1 à 100 :

1+2+3+ et ainsi de suite.

L'instituteur pensait pouvoir tenir ses élèves occupés un bon moment. Mais une minute ne s'était écoulée que l'un d'eux se tournait les pouces. Lorsqu'il lui demanda pourquoi il ne travaillait pas, l'élève répondit à l'instituteur qu'il avait terminé son travail. C'était vrai et il le prouva en donnant la bonne réponse : 5050.

L'élève en question s'appelait Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) et il deviendrait un des plus importants mathématiciens de l'histoire.

Gauss remarqua une propriété étonnante, qui se généralise : le 1er terme de la série (1) additionné au dernier (100) donne un total de (101), qui est le même que celui de l'addition du 2ème terme (2) avec l'avant-dernier (99). Pour obtenir le résultat demandé, on répétera cette opération 50 fois la dernière opération est (50 + 51 = 101). La somme finale est donc le résultat de 50 fois 101 : ce qui fait 5050.